ממוצע הגילאים בפגישה של חנה

להלן חידה שדורשת מעט מתמטיקה על מנת להגיע לפתרון

החידה אולי נראית בלתי אפשרית אבל עם מעט מחשבה וטיפה מתמטיקה אפשר להגיע לפתרון.

פתרתם? לחצו על השורה למטה בשביל לבדוק את התשובה שלכם ואת הפתרון המלא.

בשביל להתחיל ליצור את המשוואות שיפתרו לנו את החידה, נגדיר קודם כל שלושה נעלמים:

X = מספר האנשים בחדר לפני שחנה נכנסה אליו (מה שאנחנו מנסים לגלות)
Y = סה"כ הגילאים של האנשים בחדר לפני שחנה נכנסה אליו.
Z = הגיל של חנה (וגם של בתיה כי הן תאומות).

בואו נייצר את המשוואה הראשונה

Y/X + 4 = (Y+Z)/(X+1)

בצד אחד של המשוואה יש לנו את ממוצע הגילאים בחדר לפני שחנה נכנסה – סה"כ הגילאים (Y) חלקי מספר האנשים (X). לצד הזה של המשוואה הוספנו 4 כי אחרי שחנה נכנסה הממוצע גדל ב 4 שנים. ומכאן Y/X + 4.
בצד השני יש לנו את ממוצע הגילאים אחרי שחנה נכנסה. סה"כ הגילאים פלוס הגיל של חנה (Y+Z) חלקי מספר האנשים המקורי ועוד חנה (X+1). ומכאן (Y+Z)/(X+1).

על מנת לפשט את המשווה נכפיל את שני הצדדים שלה ב X*(X+1). ונקבל

Y(X+1) + 4*X*(X+1)) = X*(Y+Z)

נפתח סוגריים

YX + Y + 4X^2 + 4X = YX + ZX

נצמצם מה שאפשר ונקבל

Y + 4X^2 + 4X = ZX

עכשיו בואו נייצר את המשוואה השניה

Y/X + 7 = (Y+2Z)/(X+2)

בצד אחד של המשוואה יש לנו את ממוצע הגילאים בחדר לפני שחנה נכנסה – סה"כ הגילאים (Y) חלקי מספר האנשים (X). לצד הזה של המשוואה הוספנו 7 כי אחרי שחנה ובתיה נכנסו הממוצע גדל ב 7 שנים (3 + 4). ומכאן Y/X + 7.
בצד השני יש לנו את ממוצע הגילאים אחרי שחנה ובתיה נכנסו. סה"כ הגילאים פלוס הגיל של חנה ובתיה (Y+2Z) חלקי מספר האנשים המקורי ועוד חנה ובתיה (X+2). ומכאן (Y+2Z)/(X+2)

על מנת לפשט את המשווה נכפיל את שני הצדדים שלה ב X*(X+2). ונקבל

Y(X+2) + 7X*(X+2) = X*(Y+2Z)

נפתח סוגריים

YX + 2Y + 7X^2 + 14X = YX + 2ZX

נצמצם מה שאפשר ונקבל

2Y + 7X^2 + 14X = 2ZX

וקדימה אל הפתרון

מהמשוואה הראשונה אנחנו יודעים למה שווה ZX ואנחנו יכולים להציב את זה במשוואה השנייה ולקבל

2Y + 7X^2 + 14X = 2(Y + 4X^2 + 4X)

נפתח סוגריים

2Y + 7X^2 + 14X = 2Y + 8X^2 + 8X

נצמצם את 2Y משני הצדדים של המשוואה

7X^2 + 14X = 8X^2 + 8X

נעביר אגפים

6X = X^2

נחלק ב X

X = 6

וזהו זה, מצאנו את הפתרון.

מספר האנשים שהיו בחדר לפני שחנה נכנסה היה 6